Александр Васильевич был дирижёром, глубоко воспринявшим русскую хоровую традицию, настоящим мастером хорового дирижирования. Его многочисленные обработки народных песен превосходно звучат в хоре и до сих пор широко исполняются. Репертуар Государственного русского хора во времена А.Свешникова отличался большим диапазоном, включал множество крупных форм русских и зарубежных авторов. Главным памятником искусства этого хормейстера осталась великолепная, глубоко церковная по духу и до сих пор не превзойденная запись Всенощного бдения С.Рахманинова, осуществленная им в 1970-х годах.
Он родился в Коломне. В 1913 году окончил Музыкально-драматическое училище Московского филармонического общества, учился также в Народной консерватории. С 1909 года регентовал и преподавал пение в московских школах. В первой половине 1920-х годов он был одним из самых известных в Москве церковных регентов.
Одновременно Александр Васильевич заведовал вокальной частью студии МХАТа.
С 1928 по 1963 годы А.Свешников руководил хором Всесоюзного радиокомитета. В 1941 году он организовал Государственный хор русской песни (впоследствии Государственный академический русский хор), которым руководил до конца своих дней.
Насыщенной была и педагогическая деятельность Александра Васильевича. С 1944 года он преподавал в Московской консерватории, а в 1948 году был назначен её ректором и оставался на этом посту более четверти века, продолжая вести хоровой класс. Среди консерваторских учеников А.Свешникова крупнейшие хормейстеры, такие, например, как А.Юрлов, В.Минин. В 1944 году он организовал Московское хоровое училище (ныне Академия хоровой музыки).
